Question

（8分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知∠B＝60°，BD=，AE=3．

（1）求⊙O的半径OD；

（2）求证：AE是⊙O的切线；

（3）求图中阴影部分的面积．

Answer

（1）3；（2）证明见试题解析；（3）．

【解析】

试题分析：（1）由AB为圆O的切线，利用切线的性质得到OD垂直于AB，在直角三角形BDO中，利用锐角三角函数定义，根据tan∠BOD及BD的值，求出OD的值即可；

（2）连接OE，由AE=OD=3，且OD与AE平行，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，根据平行四边形的对边平行得到OE与AD平行，再由DA与AE垂直得到OE与AC垂直，即可得证；

（3）阴影部分的面积由三角形BOD的面积﹣扇形DOF的面积，求出即可．

试题解析：（1）∵AB与圆O相切，∴OD⊥AB，在Rt△BDO中，BD=2，tan∠BOD= tan60° ==，∴OD=3；

（2）连接OE，∵AE=OD=3，AE∥OD，∴四边形AEOD为平行四边形，∴AD∥EO，∵DA⊥AE，∴OE⊥AC，又∵OE为圆的半径，∴AE为圆O的切线；

（3）===．

考点：1．切线的判定与性质；2．扇形面积的计算．