Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物线为y=－x²+bx+c．点D为线段AB上一动点，过点D作CD⊥x轴于点C，交抛物线于点E．

（1）求抛物线的解析式．

（2）当DE=4时，求四边形CAEB的面积．

（3）连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，直接写出点D坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1） y=-x2-3x+4．（2）12.（3） （-3，1）或（-2，2）．

【解析】

试题分析：（1）首先求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；

（2）设点C坐标为（m，0）（m＜0），根据已知条件求出点E坐标为（m，8+m）；由于点E在抛物线上，则可以列出方程求出m的值．在计算四边形CAEB面积时，利用S四边形CAEB=S△ACE+S梯形OCEB-S△BCO，可以简化计算；

（3）由于△ACD为等腰直角三角形，而△DBE和△DAC相似，则△DBE必为等腰直角三角形．分两种情况讨论，要点是求出点E的坐标，由于点E在抛物线上，则可以由此列出方程求出未知数．

试题解析：（1）在直线解析式y=x+4中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=-4，

∴A（-4，0），B（0，4）．

∵点A（-4，0），B（0，4）在抛物线y=-x2+bx+c上，

∴ ，

解得：b=-3，c=4，

∴抛物线的解析式为：y=-x2-3x+4．

（2）设点C坐标为（m，0）（m＜0），则OC=-m，AC=4+m．

∵OA=OB=4，

∴∠BAC=45°，

∴△ACD为等腰直角三角形，

∴CD=AC=4+m，

∴CE=CD+DE=4+m+4=8+m，

∴点E坐标为（m，8+m）．

∵点E在抛物线y=-x2-3x+4上，

∴8+m=-m2-3m+4，解得m1=m2=-2．

∴C（-2，0），AC=OC=2，CE=6，

S四边形CAEB=S△ACE+S梯形OCEB-S△BCO

=×2×6+（6+4）×2-×2×4=12．

（3）设点C坐标为（m，0）（m＜0），则OC=-m，CD=AC=4+m，BD=OC=-m，则D（m，4+m）．

∵△ACD为等腰直角三角形，△DBE和△DAC相似

∴△DBE必为等腰直角三角形．

i）若∠BED=90°，则BE=DE，

∵BE=OC=-m，

∴DE=BE=-m，

∴CE=4+m-m=4，

∴E（m，4）．

∵点E在抛物线y=-x2-3x+4上，

∴4=-m2-3m+4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=-3，

∴D（-3，1）；

ii）若∠EBD=90°，则BE=BD=-m，

在等腰直角三角形EBD中，DE=BD=-2m，

∴CE=4+m-2m=4-m，

∴E（m，4-m）．

∵点E在抛物线y=-x2-3x+4上，

∴4-m=-m2-3m+4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=-2，

∴D（-2，2）．

综上所述，存在点D，使得△DBE和△DAC相似，点D的坐标为（-3，1）或（-2，2）．

考点：二次函数综合题．