Question

如图，矩形ABCD中，∠ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB，BC所在的直线相交，交点分别为E，F．

（1）当PE⊥AB，PF⊥BC时，如图1，则的值为         ；

（2）现将三角板绕点P逆时针旋转α（0°＜α＜60°）角，如图2，求的值；

（3）在（2）的基础上继续旋转，当60°＜α＜90°，且使AP:PC=1:2时，如图3，的值是否变化？证明你的结论．

Answer

（1）;（2）;（3）变化了，证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）证明△APE≌△PCF，得PE=CF；在Rt△PCF中，解直角三角形求得的值；

（2）如答图1所示，作辅助线，构造直角三角形，证明△PME∽△PNF，并利用（1）的结论，求得的值；

（3）如答图2所示，作辅助线，构造直角三角形，首先证明△APM∽△PCN，求得的值；然后证明△PME∽△PNF，从而由求得的值．与（1）（2）问相比较，的值发生了变化．

试题解析：（1）∵矩形ABCD，

∴AB⊥BC，PA=PC；

∵PE⊥AB，BC⊥AB，

∴PE∥BC，

∴∠APE=∠PCF；

∵PF⊥BC，AB⊥BC，

∴PF∥AB，

∴∠PAE=∠CPF．

∵在△APE与△PCF中，

∴△APE≌△PCF（ASA），

∴PE=CF．

在Rt△PCF中，，

∴．

（2）如图1，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN．

∵PM⊥PN，PE⊥PF，

∴∠EPM=∠FPN，

又∵∠PME=∠PNF=90°，

∴△PME∽△PNF，

∴．

由（1）知，，

∴．

（3）答：变化．

证明：如图2，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN，PM∥BC，PN∥AB．

∵PM∥BC，PN∥AB，

∴∠APM=∠PCN，∠PAM=∠CPN，

∴△APM∽△PCN，

∴，得CN=2PM．

在Rt△PCN中，，

∴．

∵PM⊥PN，PE⊥PF，

∴∠EPM=∠FPN，

又∵∠PME=∠PNF=90°，

∴△PME∽△PNF，

∴

∴的值发生变化．

考点：几何变换综合题．