Question

（12分）如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF⊥AE于F．

（1）求证：△PFA∽△ABE；

（2）若AP=，求△PFA的面积．

Answer

（1）证明见试题解析；（2）2．

【解析】

试题分析：（1）由正方形的性质就可以得出∠B=∠C=∠ADC=∠BAD=90°AD∥BC，就可以得出∠PAF=∠AEB，就可以得出△PFA∽△ABE；

（2）根据勾股定理可以求出AE的值及△ABE的面积，由相似三角形的性质就可以求出结论．

试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=∠ADC=∠BAD=90°AD∥BC，AB=BC=CD=DA=4，∴∠DAE=∠AEB．∵PF⊥AE，∴∠AFP=90°，∴∠AFP=∠B，∴△PFA∽△ABE；

（2）∵E是BC边的中点，∴BE=BC=2．在Rt△ABE中，由勾股定理，得：AE=．∵△PFA∽△ABE，∴．∵，∴，∴=2．

答：△PFA的面积为2．

考点：1．相似三角形的判定与性质；2．正方形的性质．