Question

如图，正方形ABCD中，P为对角线上的点，PB＝AB，连PC，作CE⊥CP交AP的延长线于E，AE交CD于F，交BC的延长线于G，则下列结论：①E为FG的中点；②；③AD＝DE；④CF=2DF．其中正确结论的个数是（    ）

A．1个    B．2个     C．3个    D．4个

Answer

C

【解析】

试题分析：①如图：

正方形ABCD中BA=BC，∠ABP=∠CBP，BP=BP，∴△ABP≌△CBP，那么∠1=∠2，

在直角三角形ABG中∠1与∠G互余，∠PCE=90°，那么∠2与∠5互余，∴∠5=∠G，∴EC=EG．

在直角三角形FCG中∠3与∠G互余，∠4与∠5也互余，而∠5=∠G，

∴∠3=∠4，∴EC=EF，从而得出EG=EF，即E为FG的中点．∴①正确．

③∵AB=BC，∠ABD=∠CBD，BP=BP，∴△ABP≌△CBP，∴∠1=∠2，∵AB∥CD，∴∠1=∠DFA，

∵AB=BP，∴∠1=∠BPA，∵∠DPF=∠APB，∵EF=CE，∴∠3=∠4，∴∠4=∠DPE，

∴D、P、C、E四点共圆，∴∠DEA=∠DCP，∵∠1+∠DAP=90°，∠2+∠DCP=90°，

∴∠DAP=∠DCP=∠DEA，∴AD=DE，∴③正确，

②∵∠3=∠4，AD=DE（③已求证），∴△CEF∽△CDE，∴ CE:CF=CD:CE 即CE²=CF·CD

∵∠3=∠4，∴CE=EF，∵E为FG的中点．∴FG=2CE，即CE=FG，∴=CF•CD，

即FG²=4CF•CD，∴②正确．

④∵四边形ABCD是正方形，∴△PDF∽△PBA，

∴ ∴ ∴ 即CF=DF∴④错误，

综上所述，正确的由①②③．

故选C．

考点：相似三角形的判定与性质,正方形的性质,勾股定理.