Question

（10分）如图，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点D是AE的中点，连接OD并延长交⊙O于点M，∠BOE=60°，cosC=，BC=．

（1）求的度数；

（2）求证：BC是⊙的切线；

（3）求弧AM的长度．

Answer

（1）30°；（2）证明见试题解析；（3）．

【解析】

试题分析：（1）根据三角函数的知识即可得出∠A的度数．

（2）要证BC是⊙O的切线，只要证明AB⊥BC即可．

（3）根据垂径定理求得∠AOM=60°，运用三角函数的知识求出OA的长度，即可求得弧AM的长度．

试题解析：（1）∵OA=OE，∴∠A=∠OEA，∵∠BOE=∠A+∠OEA=2∠A，∴∠A=∠BOE=×60°=30°；

（2）在△ABC中，∵cosC=，∴∠C=60°，又∵∠A=30°，∴∠ABC=90°，∴AB⊥BC，∵AB为直径，∴BC是⊙O的切线；

（3）∵点D是AE的中点，∴OM⊥AE，∵∠A=30°，∴∠AOM=60°，在RT△ABC中，tanC=，∵BC=，∴AB=BC•tanC==6，∴OA=AB=3，∴弧AM的长==π．

考点：切线的判定．