Question

如图所示，在平面直角坐标系xOy中，AB在x轴上，以AB为直径的半⊙O^ˊ与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC。CD是半⊙O^ˊ的切线，AD⊥CD于点D。

（1）求证：∠CAD =∠CAB；

（2）已知抛物线y=ax²+bx+c过A、B、C三点，AB=10，AC=2BC。

①求抛物线的解析式；

②判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由。

Answer

（1）证明见解析；（2）y=-x2-x+4；在，理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）连接O′C，由CD是⊙O的切线，可得O′C⊥CD，则可证得O′C∥AD，又由O′A=O′C，则可证得∠CAD=∠CAB；

（2）①首先证得△CAO∽△BCO，根据相似三角形的对应边成比例，可得OC2=OA•OB，又由tan∠CAO=tan∠CAD=，则可求得CO，AO，BO的长，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；

②首先证得△FO′C∽△FAD，由相似三角形的对应边成比例，即可得到F的坐标，求得直线DC的解析式，然后将抛物线的顶点坐标代入检验即可求得答案；

试题解析：（1）证明：连接O′C，

∵CD是⊙O′的切线，

∴O′C⊥CD，

∵AD⊥CD，

∴O′C∥AD，

∴∠O′CA=∠CAD，

∵O′A=O′C，

∴∠CAB=∠O′CA，

∴∠CAD=∠CAB；

（2）【解析】
①∵AB是⊙O′的直径，

∴∠ACB=90°，

∵OC⊥AB，

∴∠CAB=∠OCB，

∴△CAO∽△BCO，

∴，

即OC2=OA•OB，

∵tan∠CAO=tan∠CAD=，

∴AO=2CO，

又∵AB=10，

∴OC2=2CO（10-2CO），

解得CO1=4，CO2=0（舍去），

∴CO=4，AO=8，BO=2

∵CO＞0，

∴CO=4，AO=8，BO=2，

∴A（-8，0），B（2，0），C（0，4），

∵抛物线y=ax2+bx+c过点A，B，C三点，

∴c=4，

由题意得：，

解得：，

∴抛物线的解析式为：y=-x2-x+4；

②设直线DC交x轴于点F，

∴△AOC≌△ADC，

∴AD=AO=8，

∵O′C∥AD，

∴△FO′C∽△FAD，

∴ ，

∴O′F•AD=O′C•AF，

∴8（BF+5）=5（BF+10），

∴BF=，F（，0）；

设直线DC的解析式为y=kx+m，

则

，

解得： ，

∴直线DC的解析式为y=-x+4，

由y=-x2-x+4=-（x+3）2+得顶点E的坐标为（-3，），

将E（-3，）代入直线DC的解析式y=-x+4中，

右边=-×（-3）+4==左边，

∴抛物线顶点E在直线CD上；

考点：二次函数综合题．