Question

如图，△ABC中，AB=AC, ∠BAC=45°，BD⊥AC，垂足为D点，AE平分∠BAC，交BD于F，交BC于E，点G为AB的中点，连接DG，交AE于点H，

（1）求∠ACB的度数；

（2）HE=AF

Answer

（1）67.5°．（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可；

（2）证△ADF≌△BDC，推出AF=BC，求出HE=BE=CE，即可得出答案．

试题解析：（1）∵AB=AC，

∴∠ACB=∠ABC，

∵∠BAC=45°，

∴∠ACB=∠ABC=（180°-∠BAC）=（180°-45°）=67.5°．

（2）连结HB，

∵AB=AC，AE平分∠BAC，

∴AE⊥BC，BE=CE，

∴∠CAE+∠C=90°，

∵BD⊥AC，

∴∠CBD+∠C=90°，

∴∠CAE=∠CBD，

∵BD⊥AC，D为垂足，

∴∠DAB+∠DBA=90°，

∵∠DAB=45°，

∴∠DBA=45°，

∴∠DBA=∠DAB，

∴DA=DB，

在Rt△BDC和Rt△ADF中，

∠BDC=∠ADF

BD=AD

∠CAE=∠CBD

∴Rt△BDC≌Rt△ADF （ASA），

∴BC=AF，

∵DA=DB，点G为AB的中点，

∴DG垂直平分AB，

∵点H在DG上，

∴HA=HB，

∴∠HAB=∠HBA=∠BAC=22.5°，

∴∠BHE=∠HAB+∠HBA=45°，

∴∠HBE=∠ABC-∠ABH=67.5°-22.5°=45°，

∴∠BHE=∠HBE，

∴HE=BE=BC，

∵AF=BC，

∴HE=AF．

考点：1.全等三角形的判定与性质；2.线段垂直平分线的性质；3.等腰三角形的性质．