Question

已知∠MAN，AC平分∠MAN．

（1）在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求证：AB+AD=AC；

（2）在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

Answer

（1）证明见解析； （2）结论仍成立．理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据含30°角的直角三角形的性质进行证明；

（2）作CE⊥AM、CF⊥AN于E、F．根据角平分线的性质，得CE=CF，根据等角的补角相等，得∠CDE=∠ABC，再根据AAS得到△CDE≌△CBF，则DE=BF．再由∠MAN=120°，AC平分∠MAN，得到∠ECA=∠FCA=30°，从而根据30°所对的直角边等于斜边的一半，得到AE=AC，AF=AC，等量代换后即可证明AD+AB=AC仍成立．

试题解析：（1）证明：∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN，

∴∠CAD=∠CAB=60°．

又∠ABC=∠ADC=90°，

∴AD=AC，AB=AC，

∴AB+AD=AC．

（2）【解析】
结论仍成立．理由如下：

作CE⊥AM、CF⊥AN于E、F．则∠CED=∠CFB=90°，

∵AC平分∠MAN，

∴CE=CF．

∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDE=180°

∴∠CDE=∠ABC，

在△CDE和△CBF中，

，

∴△CDE≌△CBF（AAS），

∴DE=BF．

∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN，

∴∠MAC=∠NAC=60°，∴∠ECA=∠FCA=30°，

在Rt△ACE与Rt△ACF中，则有AE=AC，AF=AC，

则AD+AB=AD+AF+BF=AD+AF+DE=AE+AF=AC+AC=AC．

∴AD+AB=AC．

考点：1.含30度角的直角三角形；2.全等三角形的判定与性质；3.角平分线的性质．