Question

（本题12分）射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，

QM=4cm．动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心， cm

为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），求t值（单位：秒）.

Answer

见解析

【解析】

试题分析：分为三种情况讨论：①⊙P与边AB相切；②⊙P与边AC相切；③⊙P与边BC相切.连结点P与切点，根据切线的性质可得直角三角形，又△ABC是等边三角形，所以在直角三角形中利用特殊角的三角函数值可解决问题.

试题解析：【解析】
∵△ABC是等边三角形，QN∥AC∴△BMN是等边三角形 2分

分为三种情况：

①如图1，

当⊙P切AB于M′时，连接PM′，则PM′=cm，∠PM′M=90°，

∵∠PMM′=∠BMN=60°，∴M′M=1cm，PM=2MM′=2cm，∴QP=4cm﹣2cm=2cm，即t=2； 5分

②如图2，

当⊙P于AC切于A点时，连接PA，

则∠CAP=∠APM=90°，∠PMA=∠BMN=60°，AP=cm，∴PM=1cm，∴QP=4cm﹣1cm=3cm，

即t=3， 7分

当当⊙P于AC切于C点时，连接PC，

则∠CP′N=∠ACP′=90°，∠P′NC=∠BNM=60°，CP′=cm，

∴P′N=1cm，∴QP=4cm+2cm+1cm=7cm，

即当3≤t≤7时，⊙P和AC边相切； 9分

③如图3，

当⊙P切BC于N′时，连接PN′

则PN′=cm，∠PM\N′N=90°，

∵∠PNN′=∠BNM=60°，∴N′N=1cm，PN=2NN′=2cm，∴QP=4cm+2cm+2cm=8cm，即t=8；

综上所述：t=2或3≤t≤7或t=8． 12分

考点：1. 等边三角形的性质；2.切线的性质；3.直角三角形的性质；4.特殊角的三角函数值.