Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线是由抛物线y=x²﹣3向右平移一个单位后

得到的，它与y轴负半轴交于点A，点B在该抛物线上，且横坐标为3．

（1）求点M、A、B坐标；

（2）连结AB、AM、BM，求∠ABM的正切值；

（3）点P是顶点为M的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO与x正半轴的夹角为α，当α=∠ABM时，求P点坐标．

Answer

见解析

【解析】

试题分析：（1）根据函数平移的规律可得平移后的抛物线解析式是y=（x-1）2-3，所以顶点M的坐标（1，-3），把x=0， x=3分别代入y=（x-1）2-3可求出A点的坐标（0，-2）和点B的坐标（3,1）；

（2）过点B作BE⊥AO于E，过点M作MF⊥AO于M，根据EB=EA=3得∠EAB=∠EBA=45°，同理求出∠FAM=∠FMA=45°，然后根据△ABE∽△AMF求出即可；（3）过点P作PH⊥x轴于H，分两种情况讨论：点P在x轴的上方和下方.

试题解析：（1）抛物线y=x2-3向右平移一个单位后得到的函数解析式为y=（x-1）2-3，

顶点M（1，-3），

令x=0，则y=（0-1）2-3=-2，

点A（0，-2），

x=3时，y=（3-1）2-3=4-3=1，

点B（3，1）；

（2）过点B作BE⊥AO于E，过点M作MF⊥AO于M，

∵EB=EA=3，

∴∠EAB=∠EBA=45°，

同理可求∠FAM=∠FMA=45°，

∴△ABE∽△AMF，

∴==，

又∵∠BAM=180°-45°×2=90°，

∴tan∠ABM==；

（3）过点P作PH⊥x轴于H，

∵y=（x-1）2-3=x2-2x-2，

∴设点P（x，x2-2x-2），

①点P在x轴的上方时，=，

整理得，3x2-7x-6=0，

解得x1=-（舍去），x2=3，

∴点P的坐标为（3，1）；

②点P在x轴下方时，=，

整理得，3x2-5x-6=0，

解得x1=（舍去），x2=，

x=时，x2-2x-2=-×=-，

∴点P的坐标为（，-），

综上所述，点P的坐标为（3，1）或（，-）．

考点：1.二次函数图象的平移；2.求抛物线与坐标轴的交点；3.相似三角形的判定与性质；4.锐角三角形函数.