Question

如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点E为BC的中点，连接DE．

（1）求证：DE是半圆⊙O的切线．

（2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的长．

Answer

见解析

【解析】

试题分析：（1）连结OD,根据条件证明即可；（2）根据条件可得BC=2DE=4，Rt△ABC中，先由∠BAC=30°，得AC=2 BC =8，再根据条件可证△EDC为等边三角形，可得出DC=2， AD=AC-CD=6．

试题解析：（1）证明：连接OD，OE，

∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=∠BDC=90°，在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，∴DE=BE，

在△OBE和△ODE中，OB=OD，OE=OE，BE=DE，∴△OBE≌△ODE（SSS），∴∠ODE=∠ABC=90°，所以DE为圆O的切线；

（2）在Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴BC= AC，∵BC=2DE=4，∴AC=8，又∵∠C=60°，DE=DC，∴△DEC为等边三角形，即DC=DE=2，所以AD=AC-DC=6．

考点：1.切线的判定；2.直角三角形的性质；3. 等边三角形的判定与性质.