Question

（本题满分10分）如图，扇形OAB的半径OA＝r，圆心角∠AOB＝90º，点C是上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，点M在DE上，DM＝2EM，过点C的直线CP交OA的延长线于点P，且∠CPO＝∠CDE．

（1）试说明：DM＝r；

（2）试说明：直线CP是扇形OAB所在圆的切线；

Answer

（1）见解析（5分） （2）见解析（5分）

【解析】

试题分析：（1）连接OC，可证明四边形ODCE是矩形，所以DE=OC=r，又DM＝2EM，所以DM=DE;（2）根据条件证明PC⊥OC即可.

试题解析：（1）证明：连接OC，∵点C是上异于A、B的点，又CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，∴∠ODC=∠OEC=∠AOB=90°，∴四边形ODCE是矩形，∴DE=OC．∵OC=OA=r，∴DE=r．又∵DM=2EM，∴DM=r；（2）证明：设OC与DE交于点F，则在矩形ODCE中，FC=FD，∴∠CDE=∠DCO，又∵∠CPD+∠PCD=90°，∠CPD=∠CDE，∴∠DCO+∠PCD=90°，即PC⊥OC于点C，又∵OC为扇形OAB的半径，∴PC是扇形OAB所在圆的切线.

考点：1.矩形的判定与性质；2.切线的判定.