Question

如图，二次函数y= x²axb的图象与x轴交于A（，0）、B（2，0）两点，且与y轴交于点C.

（1）求该拋物线的解析式，并判断△ABC的形状；

（2）在x轴上方的拋物线上有一点D，且以A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；

（3）在拋物线上存在点P，使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形，求出P点的坐标.

Answer

（1）y=-x2+x+1；△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°；（2）D（，1）；（3）P（，-）或（-，-9）.

【解析】

试题分析：（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中即可确定抛物线的解析式；进而可得到C点坐标，进而可求出AC、BC、AB的长，然后再判断△ABC的形状；

（2）根据抛物线和等腰梯形的对称性知，点C关于抛物线对称轴的对称点符合点D的要求，由此可求出点D的坐标；

（3）在（1）题已将证得∠ACB=90°，若A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形，则有两种情况需要考虑：

①以BC、AP为底，AC为高；可先求出直线BC的解析式，进而可确定直线AP的解析式，联立抛物线的解析式即可求出点P的坐标．

②以AC、BP为底，BC为高；方法同①．

试题解析：（1）由题意得：

，

解得；

∴抛物线的解析式为y=-x2+x+1；

∴C（0，1）；

∴AC2=+1=，BC2=1+4=5，AB2=（2+）2=；

∴AC2+BC2=AB2，即△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°；

（2）由（1）的抛物线知：其对称轴方程为x=；

根据抛物线和等腰梯形的对称性知：点D（，1）；

（3）存在，点P（，-）或（-，-9）；

若以A、C、B、P四点为顶点的直角梯形以BC、AP为底；

∵B（2，0），C（0，1），

∴直线BC的解析式为：y=-x+1；

设过点A且平行于BC的直线的解析式为y=-x+h，

则有：（-）×（-）+h=0，h=-；

∴y=-x-；

联立抛物线的解析式有：

，

解得，；

∴点P（，-）；

若以A、C、B、P四点为顶点的直角梯形以AC、BP为底，

同理可求得P（-，-9）；

故当P（，-）或（-，-9）时，以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形．

（根据抛物线的对称性求出另一个P点坐标亦可）

考点：二次函数综合题．