Question

（本题12分）结论: 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．

如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2， PB=， PC=1．求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．

李明同学做了如图2所示的辅助线：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形，连接PP′，从而问题得到解决．你能说说其中的理由吗？

请你参考李明同学的思路，解决下列问题：

如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，BP=，PC=1．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．

Answer

见解析

【解析】

试题分析：（1）根据旋转得出AP′=CP=1，BP′=BP=，∠PBC=∠P′BA，∠AP′B=∠BPC，求出∠ABP′+∠ABP=60°，得到等边△BPP′，推出PP′=，∠BP′P=60°，求出∠AP′P=90°即可求出∠BPC；过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M，由∠MP′B=30°，求出BM=，P′M=，根据勾股定理即可求出答案；

（2）求出∠BEP=（180°﹣90°）=45°，根据勾股定理的逆定理求出∠AP′P=90°，推出∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°；过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F，求出FE=BF=1，AF=2，关键勾股定理即可求出AB．

试题解析：（1）∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=60°，

将△BPC绕点B顺时针旋转60°得出△ABP′，

∴AP′=CP=1，BP′=BP=，∠PBC=∠P′BA，∠AP′B=∠BPC，

∵∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，

∴∠ABP′+∠ABP=∠ABC=60°，

∴△BPP′是等边三角形，

∴PP′=，∠BP′P=60°，

∵AP′=1，AP=2，

∴AP′2+PP′2=AP2，

∴∠AP′P=90°，

∴∠BPC=∠AP′B=90°+60°=150°，

过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M，

∴∠MP′B=30°，BM=，

由勾股定理得：P′M=，

∴AM=1+=，

由勾股定理得：AB==，

（2）将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△AEB，

与（1）类似：可得：AE=PC=1，BE=BP=，∠BPC=∠AEB，∠ABE=∠PBC，

∴∠EBP=∠EBA+∠ABP=∠ABC=90°，

∴∠BEP=（180°﹣90°）=45°，

由勾股定理得：EP=2，

∵AE=1，AP=，EP=2，

∴AE2+PE2=AP2，

∴∠AEP=90°，

∴∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°，

过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F；

∴∠FEB=45°，

∴FE=BF=1，

∴AF=2；

∴在Rt△ABF中，由勾股定理，得AB=；

∴∠BPC=135°，正方形边长为 ．

答：∠BPC的度数是135°，正方形ABCD的边长是．

考点：1.等边三角形的性质2.勾股定理