Question

（本题10分）阅读材料：小明在学习实数后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋2＝（1＋），善于思考的小明进行了以下探索：

设a＋b＝（m＋n）（其中a、b、m、n均为正整数），

则有a＋b＝m²＋2n²＋2mn，∴a＝ m²＋2n²，b＝2mn．

这样小明就找到了一种把部分a＋b的式子化为平方式的方法．

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a＋b＝（m＋n），用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝         ， b＝            ；

（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：        ＋       ＝（       ＋         ）；

（3）若a＋4＝（m＋n），且a、m、n均为正整数，求a的值．

Answer

（1）m2+3n2，2mn；

（2）4、2、1、1；

（3）a=7，或a=13．

【解析】

试题分析：（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式；

（2）首先确定好m、n的正整数值，然后根据（1）的结论即可求出a、b的值；

（3）根据题意，4=2mn，首先确定m、n的值，通过分析m=2，n=1或者m=1，n=2，然后即可确定好a的值．

试题解析：（1）∵a+b=（m＋n），

∴a+b=m2+3n2+2mn，

∴a=m2+3n2，b=2mn．

故答案为m2+3n2，2mn．

（2）设m=1，n=1，

∴a=m2+3n2=4，b=2mn=2．

故答案为4、2、1、1．

（3）由题意，得：

a=m2+3n2，b=2mn

∵4=2mn，且m、n为正整数，

∴m=2，n=1或者m=1，n=2，

∴a=22+3×12=7，或a=12+3×22=13．

考点：二次根式的混合运算