Question

（12分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B

（1）求证：△ADF∽△DEC；

（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．

Answer

(2)6

【解析】

试题分析：（1）根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AB∥CD，即得∠ADF=∠CED，∠B+∠C=180°，

再由∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，可得∠AFD=∠C，问题得证；

（2）根据平行四边形的性质可得AD∥BC，CD=AB=4，再根据勾股定理可求得DE的长，

再由△ADF∽△DEC根据相似三角形的性质求解即可.

试题解析：（1）证明：∵ ABCD，

∴AB∥CD，AD∥BC，

∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．

∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，

∴∠AFD=∠C．

在△ADF与△DEC中，

∴△ADF∽△DEC．

（2）【解析】
∵▱ABCD，∴CD=AB=8．

由（1）知△ADF∽△DEC，

∴，

∴DE===12．

在Rt△ADE中，由勾股定理得：

AE==

=6．

考点：平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理