Question

如图，在△AFC中，AF=AC，B是CF的中点，AH平分∠CAF，作CD⊥AH于D。

(1)证明四边形ABCD是矩形。

(2)若BD交AC于O，证明：OB//AF且OB= AF。

(3)若使四边形ABCD是正方形，需添加一个条件，请直接写出该条件。

Answer

【解析】

试题分析：（1）根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形，已知AF=AC，CD⊥AH，所以求证∠BAD=90°，可以证明四边形ADCE为矩形；

（2）根据∠EAC=∠AFC+∠ACF，AH是∠CAE的平分线，∠AFC=∠ACF，可以求证AD∥FB，由（1）的结论可知四边形ADCE为矩形，B是CF的中点，所以有AD=FB，可以证明四边形AFBD是平行四边形，由三角形中位线定理可以证明OB∥AF且OB=AF；

（3）给出正确条件即可．我们可以假设当AB=FC，由已知可得，BC=FC，由（1）的结论可知四边形ADCE为矩形，所以证得四边形ADCE为正方形．

试题解析：（1）证明：由题意∠F=∠ACF

∠CAH=∠EAH

又∠F+∠ACF=∠CAH+∠EAF

∴∠ACF=∠ECH

∴AD∥CF

又∠ABC=90° ∴∠BCD=90°

∠CDA=90°

∴四边形ABCD是矩形

（2）∵四边形ABCD是矩形

∴AO=OC，

又BF=BC

∴OBAF

（3）FB=BC

考点：矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，及角平分线的性质