Question

如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax² -2x+2的图象与y轴交于点C，以OC为一边向左侧作正方形OCBA,点B刚好落在抛物线上. 

（1）求a的值；

（2）若点D在二次函数y=ax² -2x+2的图象的对称轴上，点E在二次函数y=ax² ﹣2x+2的图象上，是否存在以B,C,D,E四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由． 

（3）如图2，把正方形OCBA绕点O顺时针旋转α后得到正方形A₁B₁C₁O（0°<α<90°）。在旋转过程中，若点A₁落在二次函数y=ax²﹣2x+2的图象对称轴上，求出此时的点B₁的坐标.

Answer

（1）-1；（2）（-1，3）或（-3，-1）或（1，-1），（3）（2sin15°，2cos15°）.

【解析】

试题分析：（1）先求出点C的坐标，再根据正方形的边长相等，得出点B的坐标，代入y=ax2-2x+2，即可得出a的值．

（2）分两种情况求【解析】
①当点E在抛物线顶点时；②当BC∥DE，且DE=BC=2时，即可求出答案；

（3）①由点A1落在二次函数对称轴上，OA1=2，可得出∠A1OA=60°，进而得出∠BOB1=60°，求出∠B1OC=15°，利用三角函数表示点B1的坐标即可；

②设F（-1，m），由△A1B1F∽△HOF得出A1F=2m，由OB1=OB=2，得出B1H=，在Rt△A1B1F中由勾股定理A1F2+A1B12=B1F2，列出方程（2m）2+22=（-m）2求出m的值，即可得出点F的坐标．

试题解析：（1）二次函数y=ax2-2x+2的图象与y轴交于点C，

∴C（0，2），

∵以OC为一边向左侧作正方形OCBA，点B刚好落在抛物线上．

∴B（-2，2），把B（-2，2）代入y=ax2-2x+2，得2=4a+4+2，解得a=-1

（2）①当点E在抛物线顶点时，

∵二次函数的解析式为y=-x2-2x+2．

∴E（-1，3）

∵点D在二次函数的对称轴上，

∴当E（-1，3）以B，C，D，E四点为顶点的四边形为平行四边形

②当BC∥DE，且DE=BC=2时，

∵点D在二次函数的对称轴上，

∴D的横坐标为-1，

∴设点E的横坐标为t，则有-1-t=2，或t-（-1）=2，解得t=-3或1．

∴E（-3，-1）或（1，-1）

综上所述：当点E的坐标为（-1，3）或（-3，-1）或（1，-1），以B，C，D，E四点为顶点的四边形为平行四边形．

（3）如图1，

∵点A1落在二次函数对称轴上，OA1=2

∴∠A1OA=60°，

∴∠BOB1=60°，

∴∠B1OC=60°-45°=15°，

∵OB1=OB=2，

∴B1（2sin15°，2cos15°）.

考点：二次函数综合题．