Question

已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使∠DAF＝60°，连接CF．

     

（1）如图①，当点D在边BC上时，求证：①BD＝CF，②AC＝CF＋CD；

（2）如图②，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC＝CF＋CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；

（3）如图③，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系．

Answer

（1）证明见解析；（2）AC=CF+CD不成立，AC、CF、CD之间存在的数量关系是AC=CF-CD，（3）AC=CD-CF．理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据已知得出AF=AD，AB=BC=AC，∠BAC=∠DAF=60°，求出∠BAD=CAF，证△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可；

（2）求出∠BAD=∠CAF，根据SAS证△BAD≌△CAF，推出BD=CF即可；

（3）画出图形后，根据SAS证△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可．

试题解析：（1）证明：∵菱形AFED，

∴AF=AD，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC=BC，∠BAC=60°=∠DAF，

∴∠BAC-∠DAC=∠DAF-∠DAC，

即∠BAD=∠CAF，

∵在△BAD和△CAF中

，

∴△BAD≌△CAF，

∴CF=BD，

∴CF+CD=BD+CD=BC=AC，

即①BD=CF，②AC=CF+CD．

（2）【解析】
AC=CF+CD不成立，AC、CF、CD之间存在的数量关系是AC=CF-CD，

理由是：由（1）知：AB=AC=BC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=60°，

∴∠BAC+∠DAC=∠DAF+∠DAC，

即∠BAD=∠CAF，

∵在△BAD和△CAF中

，

∴△BAD≌△CAF，

∴BD=CF，

∴CF-CD=BD-CD=BC=AC，

即AC=CF-CD．

（3）AC=CD-CF．理由是：

∵∠BAC=∠DAF=60°，

∴∠DAB=∠CAF，

∵在△BAD和△CAF中

，

∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴CF=BD，

∴CD-CF=CD-BD=BC=AC，

即AC=CD-CF．

考点：1.全等三角形的判定与性质；2.等边三角形的性质．