Question

已知：如图，二次函数的图象是由y= -x2向右平移1个单位，再向上平移4个单位所得到，这时图像与x轴的交点为A、B（A在B的左边），与y轴交于点C。

（1）求二次函数的解析式；

（2）若点P是抛物线对称轴 上一动点，求使AP+CP最小的点P的坐标.

Answer

（1）y=-（x-1）2+4，（2）点P的坐标为（1，2）．

【解析】

试题分析：（1）根据二次函数图象“左加右减，上加下减”的平移规律即可得到新的二次函数的解析式和对称轴；

（2）连接BC，交对称轴于点P，连接AP、AC．点A关于对称轴x=1的对称点是点B （3，0），由几何知识可知，PA+PC=PB+PC为最小，依此求点P的坐标．

试题解析：（1）二次函数的解析式：y=-（x-1）2+4，对称轴为直线x=1；

（2）连接BC，交对称轴于点P，连接AP、AC．要使PA+PC最小．

∵点A关于对称轴x=1的对称点是点B（3，0），抛物线y=-x2+2x+3与y轴交点C的坐标为（0，3）．

∴由几何知识可知，PA+PC=PB+PC为最小

设直线BC的解析式为y=kx+3，将B（3，0）代入3k+3=0，得k=-1．

∴y=-x+3，

∴当x=1时，y=2．

∴点P的坐标为（1，2）．

考点：二次函数综合题．