Question

（本题满分12分）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F，

（1）求的值为           .

（2）求证：AE=EP；

（3）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）=；（2）详见解析；（3）存在，理由详见解析

【解析】

试题分析：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴∠B=∠D，∵∠AEP=90°， ∴∠BAE=∠FEC，

在Rt△ABE中，AE==，由△ABE∽△ECF 得 =，

（2）在BA边上截取BK=NE，连接KE，

∵∠B=90°，BK=BE， ∴∠BKE=45°， ∴∠AKE=135°，

∵CP平分外角，∴∠DCP=45°，∴∠ECP=135°，∴∠AKE=∠ECP，

∵AB=CB，BK=BE， ∴AB﹣BK=BC﹣BE，

即：AK=EC，

易得∠KAE=∠CEP，

∵在△AKE和△ECP中，

，

∴△AKE≌△ECP（ASA），

∴AE=EP；

（3）答：存在．

证明：作DM⊥AE于AB交于点M，

则有：DM∥EP，连接ME、DP，

∵在△ADM与△BAE中，

，

∴△ADM≌△BAE（AAS），

∴MD=AE，

∵AE=EP，

∴MD=EP，

∴MDEP，

∴四边形DMEP为平行四边形

考点: 正方形的综合运用