Question

（本题满分10分）某种规格小纸杯的侧面是由一半径为、圆心角是的扇形剪去一半径的同心圆扇形所围成的（不计接缝）（如图1）．

（1）求纸杯的底面半径和侧面积（结果保留）；

（2）要制作这样的纸杯侧面，如果按照图2所示的方式剪裁（不允许有拼接），至少要用多大的矩形纸片？

（3）如图3，若在一张半径为的圆形纸片上剪裁这样的纸杯侧面（不允许有拼接），最多能裁出多少个？

Answer

（1）底面半径为，侧面积为；

（2）需要长为，宽为的矩形纸片；

（3）9个

【解析】

试题分析：（1）要求底面半径，需先求底面周长，而底面周长为图（1）中的弧长，相关数据代入弧长公式即可.而侧面积即为图（1）中的扇环，将大扇形面积减去小扇形面积即得；（2）联结，可证得即为长方形的长，而所在的为正三角形，故易求.再过作，交于，交于，根据垂径定理可证得即为长方形的宽，求出长，再求即得长；（3）本小题容易想到的是直接在圆环上能裁出6个，此时中间还有一个以为半径的小圆，考虑到圆环的半径为，正好为小圆半径的一半，故可先在小圆中构造一个边长为的正六边形，再取三条互不相邻的边的中点，故在此正六边形中裁出3个扇环，故总共9个.

试题解析：（1），

底面周长为 底面半径为

侧面积为扇环的面积，故

答：纸杯的底面半径为，侧面积为.

（2）连接，过作，交于，交于 ，

是等边三角形

又也是等边三角形 即为长方形的长

，

由垂径定理知，即为长方形的宽 所需长方形的两边长分别为和.

（3）扇形的圆心角为 在以为圆心，为半径的大圆和以为半径的小圆组成的圆环中可剪出6个圆环（即小纸杯的侧面）

剩下的一个半径的圆中可按照如下方法剪圆环.作六边形，显然边长为，将、、两边延长，分别相交于点、、，则以、、为圆心为半径画弧，三条弧相切于、、的中点，显然又可剪3个

最多可剪出9个纸杯的侧面（如图所示）

考点：1.扇形（扇环）的面积计算；2.弧、弦的长度计算；3.图形的综合处理能力.