Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点坐标为（2，4），直线与轴相交于点，连结，抛物线从点沿方向平移，与直线交于点，顶点到点时停止移动．

（1）求线段所在直线的函数解析式；

（2）设抛物线顶点的横坐标为.

①用的代数式表示点的坐标；

②当为何值时，线段最短；

（3）当线段最短时，相应的抛物线上是否存在点，使△ 的面积与△的面积相等，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）OA所在直线的函数解析式为y=2x．（2）点P的坐标是（2，m2-2m+4）．1；（3）Q1（2+，5+2），Q2（2-，5-2），Q3（2，3）.

【解析】

试题分析：（1）根据A点的坐标，用待定系数法即可求出直线OA的解析式．

（2）①由于M点在直线OA上，可根据直线OA的解析式来表示出M点的坐标，因为M点是平移后抛物线的顶点，因此可用顶点式二次函数通式来设出这个二次函数的解析式，P的横坐标为2，将其代入抛物线的解析式中即可得出P点的坐标．

②PB的长，实际就是P点的纵坐标，因此可根据其纵坐标的表达式来求出PB最短时，对应的m的值．

（3）根据（2）中确定的m值可知：M、P点的坐标都已确定，因此AM的长为定值，若要使△QMA的面积与△PMA的面积相等，那么Q点到AM的距离和P到AM的距离应该相等，因此可分两种情况进行讨论：①当Q在直线OA下方时，可过P作直线OA的平行线交y轴于C，那么平行线上的点到OA的距离可相等，因此Q点必落在直线PC上，可先求出直线PC的解析式，然后利用抛物线的解析式，看得出的方程是否有解，如果没有则说明不存在这样的Q点，如果有解，得出的x的值就是Q点的横坐标，可将其代入抛物线的解析式中得出Q点的坐标．②当Q在直线OA上方时，同①类似，可先找出P关于A点的对称点D，过D作直线OA的平行线交y轴于E，那么直线DE上的点到AM的距离都等于点P到AM上的距离，然后按①的方法进行求解即可．

（本题也可通过以AP为底，找出和点M到AP的距离相等的两条直线，然后联立抛物线的解析式进行求解即可）．

试题解析：（1）设OA所在直线的函数解析式为y=kx，

∵A（2，4），

∴2k=4，

∴k=2，

∴OA所在直线的函数解析式为y=2x．

（2）①∵顶点M的横坐标为m，且在线段OA上移动，

∴y=2m（0≤m≤2）．

∴顶点M的坐标为（m，2m）．

∴抛物线函数解析式为y=（x-m）2+2m．

∴当x=2时，y=（2-m）2+2m=m2-2m+4（0≤m≤2）．

∴点P的坐标是（2，m2-2m+4）．

②∵PB=m2-2m+4=（m-1）2+3，

又∵0≤m≤2，

∴当m=1时，PB最短．

（3）当线段PB最短时，此时抛物线的解析式为y=（x-1）2+2

即y=x2-2x+3．

假设在抛物线上存在点Q，使S△QMA=S△PMA．

设点Q的坐标为（x，x2-2x+3）．

①点Q落在直线OA的下方时，过P作直线PC∥AO，交y轴于点C，

∵PB=3，AB=4，

∴AP=1，

∴OC=1，

∴C点的坐标是（0，-1）．

∵点P的坐标是（2，3），

∴直线PC的函数解析式为y=2x-1．

∵S△QMA=S△PMA，

∴点Q落在直线y=2x-1上．

∴x2-2x+3=2x-1．

解得x1=2，x2=2，

即点Q（2，3）．

∴点Q与点P重合．

∴此时抛物线上存在点Q（2，3），使△QMA与△APM的面积相等．

②当点Q落在直线OA的上方时，

作点P关于点A的对称称点D，过D作直线DE∥AO，交y轴于点E，

∵AP=1，

∴EO=DA=1，

∴E、D的坐标分别是（0，1），（2，5），

∴直线DE函数解析式为y=2x+1．

∵S△QMA=S△PMA，

∴点Q落在直线y=2x+1上．

∴x2-2x+3=2x+1．

解得：x1=2+，x2=2-．

代入y=2x+1得：y1=5+2，y2=5-2．

∴此时抛物线上存在点Q1（2+，5+2），Q2（2-，5-2）使△QMA与△PMA的面积相等．

综上所述，抛物线上存在点Q1（2+，5+2），Q2（2-，5-2），Q3（2，3），使△QMA与△PMA的面积相等．

考点：二次函数综合题．