Question

已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A,点G、E分别在线段AD、AB上.

（1）如图1, 连结DF、BF,若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转,判断:“在旋转的过程中线段DF与BF的长始终相等.”是否正确,若正确请说明理由,若不正确请举反例说明;

（2）若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转, 连结DG,在旋转的过程中,你能否找到一条线段的长与线段DG的长始终相等.并以图2为例说明理由.

Answer

【解析】

试题分析：（1）不相等，以旋转45°为例，分别求出DF、BF的长度，从而得解；

（2）连接BE，根据正方形的四条边都相等，每一个角都是直角推出∠DAG=∠BAE，然后利用边角边证明△ADG与△ABE全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明BE=DG．

试题解析：（1）不正确．

若在正方形GAEF绕点A顺时针旋转45°，这时点F落在线段AB或AB的延长线上．（或将正方形GAEF绕点A顺时针旋转，使得点F落在线段AB或AB的延长线上）．如图：

设AD=a，AG=b，则DF=＞a，BF=|AB-AF|=|a-b|＜a，

∴DF＞BF，即此时DF≠BF；

（2）连接BE，可得△ADG≌△ABE，则DG=BE．如图，

∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∵四边形GAEF是正方形，

∴AG=AE，又∠DAG+∠GAB=90°，∠BAE+∠GAB=90°，

∴∠DAG=∠BAE，∴△DAG≌△BAE，∴DG=BE．

考点：1.旋转的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.正方形的性质．