Question

如图， 已知∠ABC=90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ,连结QE并延长交BP于点F.

（1）试说明：∠AEQ=90°；

（2）猜想EF与图中哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段），并说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）EF=BF，理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据等边三角形性质得出AB=AE，AP=AQ，∠ABE=∠BAE=∠PAQ=60°，求出∠BAP=∠EAQ，根据SAS证△BAP≌△EAQ，推出∠AEQ=∠ABC=90°；

（2）根据等边三角形性质求出∠ABE=∠AEB=60°，根据∠ABC=90°=∠AEQ求出∠BEF=∠EBF=30°，即可得出答案．

试题解析：（1）证明：∵△ABE和△APQ是等边三角形，

∴AB=AE，AP=AQ，∠ABE=∠BAE=∠PAQ=60°，

∴∠BAE-∠PAE=∠PAQ-∠PAE，

∴∠BAP=∠EAQ，

在△BAP和△EAQ中

∴△BAP≌△EAQ（SAS），

∴∠AEQ=∠ABC=90°；

（2）【解析】
EF=BF，

理由是：∵△ABE是等边三角形，

∴∠ABE=∠AEB=60°，

∵∠ABC=90°=∠AEQ，

∴∠BEF=180°-90°-60°=30°，∠EBF=90°-60°=30°，

∴∠EBF=∠BEF，

∴EF=BF．

考点：1.全等三角形的判定与性质；2.等腰三角形的判定与性质；3.等边三角形的性质．