Question

已知抛物线抛物线y _n=-（x-a_n）²+a_n（n为正整数，且0<a₁<a₂<…<a_n）与x轴的交点为A_n-1（b_n-1,0）和A_n（b_n，0），当n=1时，第1条抛物线y₁=-（x-a₁）²+a₁与x轴的交点为A₀（0，0）和A₁（b₁，0），其他依此类推．

（1）求a₁,b₁的值及抛物线y₂的解析式；

（2）抛物线y₃的顶点坐标为（     ，     ）；

依此类推第n条抛物线y_n的顶点坐标为（       ，      ）;

所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系是                  ；

（3）探究下列结论：

若用A_n-1A_n表示第n条抛物线被x轴截得得线段长，直接写出A₀A₁的值，并求出A_n-1A_n；

Answer

（1）a1=1，b1=2，y2=-（x-4）2+4．（2）y3的顶点坐标为（9，9）．yn的顶点坐标为（n2，n2）．y=x．（3）A0A1=2．An-1An=2n．

【解析】

试题分析：（1）因为点A0（0，0）在抛物线y1=-（x-a1）2+a1上，可求得a1=1，则y1=-（x-1）2+1；令y1=0，求得A1（2，0），b1=2；再由点A1（2，0）在抛物线y2=-（x-a2）2+a2上，求得a2=4，y2=-（x-4）2+4．

（2）求得y1的顶点坐标（1，1），y2的顶点坐标（4，4），y3的顶点坐标（9，9），依此类推，yn的顶点坐标为（n2，n2）．因为所有抛物线顶点的横坐标等于纵坐标，所以顶点坐标满足的函数关系式是：y=x．

（3）①由A0（0，0），A1（2，0），求得A0A1=2；yn=-（x-n2）2+n2，令yn=0，求得An-1（n2-n，0），An（n2+n，0），所以An-1An=（n2+n）-（n2-n）=2n；

②设直线解析式为：y=kx-2k，设直线y=kx-2k与抛物线yn=-（x-n2）2+n2交于E（x1，y1），F（x2，y2）两点，联立两式得一元二次方程，得到x1+x2=2n2-k，x1•x2=n4-n2-2k．然后作辅助线，构造直角三角形，求出EF2的表述式为：EF2=（k2+1）[4n2•（1-k）+k2+8k]，可见当k=1时，EF2=18为定值．所以满足条件的直线为：y=x-2．

试题解析：（1）∵当n=1时，第1条抛物线y1=-（x-a1）2+a1与x轴的交点为A0（0，0），

∴0=-（0-a1）2+a1，解得a1=1或a1=0．

由已知a1＞0，∴a1=1，

∴y1=-（x-1）2+1．

令y1=0，即-（x-1）2+1=0，解得x=0或x=2，

∴A1（2，0），b1=2．

由题意，当n=2时，第2条抛物线y2=-（x-a2）2+a2经过点A1（2，0），

∴0=-（2-a2）2+a2，解得a2=1或a2=4，

∵a1=1，且已知a2＞a1，

∴a2=4，

∴y2=-（x-4）2+4．

∴a1=1，b1=2，y2=-（x-4）2+4．

（2）抛物线y2=-（x-4）2+4，令y2=0，即-（x-4）2+4=0，解得x=2或x=6．

∵A1（2，0），

∴A2（6，0）．

由题意，当n=3时，第3条抛物线y3=-（x-a3）2+a3经过点A2（6，0），

∴0=-（6-a3）2+a3，解得a3=4或a3=9．

∵a2=4，且已知a3＞a2，

∴a3=9，

∴y3=-（x-9）2+9．

∴y3的顶点坐标为（9，9）．

由y1的顶点坐标（1，1），y2的顶点坐标（4，4），y3的顶点坐标（9，9），

依此类推，yn的顶点坐标为（n2，n2）．

∵所有抛物线顶点的横坐标等于纵坐标，

∴顶点坐标满足的函数关系式是：y=x．

（3）∵A0（0，0），A1（2，0），

∴A0A1=2．

yn=-（x-n2）2+n2，令yn=0，即-（x-n2）2+n2=0，

解得x=n2+n或x=n2-n，

∴An-1（n2-n，0），An（n2+n，0），即An-1An=（n2+n）-（n2-n）=2n．

考点：二次函数综合题．