Question

如图所示，在RtABC中，∠C=90°,∠BAC=60°，AB=8.半径为的⊙M与射线BA相切，切点为N，且AN=3.将RtABC顺时针旋转120后得到RtADE，点B、C的对应点分别是点D、E.

（1）画出旋转后的RtADE；

（2）求出RtADE的直角边DE被⊙M截得的弦PQ的长度;

（3）判断RtADE的斜边AD所在的直线与⊙M的位置关系，并说明理由.

Answer

（1）作图见解析；（2）2．（3）AD与⊙M相切．理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）把三角形ABC绕A旋转120°就能得到图形．

（2）连接MQ，过M点作MF⊥DE，由AN=3，AC=4，求出NE的长；在Rt△MFQ中，利用勾股定理可求出QF，根据垂径定理知QF就是弧长PQ的一半．

（3）过M作AD的垂线设垂足为H，然后证MH与⊙M半径的大小关系即可；连接AM、MN，由于AE是⊙M的切线，故MN⊥AE，在Rt△AMN中，通过解直角三角形，易求得∠MAN=30°，由此可证得AM是∠DAE的角平分线，根据角平分线的性质即可得到MH=MN，由此可证得⊙M与AD相切．

试题解析：（1）如图Rt△ADE就是要画的图形

（2）连接MQ，过M点作MF⊥DE，垂足为F，由Rt△ABC可知，NE=1，

在Rt△MFQ中，解得FQ=，故弦PQ的长度2．

（3）AD与⊙M相切．

证明：过点M作MH⊥AD于H，连接MN，MA，则MN⊥AE，且MN=，

在Rt△AMN中，tan∠MAN=，

∴∠MAN=30°，

∵∠DAE=∠BAC=60°，

∴∠MAD=30°，

∴∠MAN=∠MAD=30°，

∴MH=MN，

∴AD与⊙M相切．

考点：1.切线的判定；2.作图-旋转变换．