Question

如图，在△ABC中，∠C=90°, AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点, 以 OA为半径的⊙O经过点D。

（1）求证： BC是⊙O切线；

（2）若BD=5, DC=3, 求AC的长。

Answer

（1）证明见解析；（2）6.

【解析】

试题分析：（1）要证BC是⊙O的切线，只要连接OD，再证OD⊥BC即可．

（2）过点D作DE⊥AB，根据角平分线的性质可知CD=DE=3，由勾股定理得到BE的长，再通过证明△BDE∽△BAC，根据相似三角形的性质得出AC的长．

试题解析：（1）证明：连接OD；

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠1=∠3．

∵OA=OD，

∴∠1=∠2．

∴∠2=∠3．

∴OD∥AC．

∴∠ODB=∠ACB=90°．

∴OD⊥BC．

∴BC是⊙O切线．

（2）【解析】
过点D作DE⊥AB，

∵AD是∠BAC的平分线，

∴CD=DE=3．

在Rt△BDE中，∠BED=90°，

由勾股定理得：BE=

∵∠BED=∠ACB=90°，∠B=∠B，

∴△BDE∽△BAC．

∴．

∴．

∴AC=6．

考点：切线的判定．