Question

（本题满分12分）已知直线y＝kx＋6（k<0）分别交x轴、y轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒2个单位长度，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为t秒．

（1）当k＝－1时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图1）．

①直接写出t＝1秒时C、Q两点的坐标；

②若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似，求t的值．

（2）当时，设以C为顶点的抛物线y＝（x＋m）²＋n与直线AB的另一交点为D（如图2），①求CD的长； ②设△COD的OC边上的高为h，当t为何值时，h的值最大？

Answer

见解析

【解析】

试题分析：（1）①当k＝－1时，直线y＝-x＋6与x轴、y轴的交点A、B坐标分别是（6，0）（0,6），t＝1

秒时，AQ=2，OP=2，所以可求C、Q两点的坐标；②分两种情况讨论：当△AQC∽△AOB时，可求t＝1.5，当△ACQ∽△AOB时，可求t＝2；（2）①根据题意得点C的坐标 则以C为顶点的抛物线是，然后表示出抛物线与直线y＝x＋6的交点坐标，过点D作DE⊥CP于点E，利用△DEC∽△AOB，可得； ②当，可求S△COD为定值，要使OC边上的高h的值最大，只要OC最短，当OC⊥AB时OC，最短，此时OC的长为，然后根据Rt△PCO∽Rt△OAB．可得.

试题解析：【解析】
（1）①C（2，4），Q（4，0） 2分

②由题意得：P（2t，0），C（2t，－2t＋6），Q（6－2t，0）

分两种情况讨论：

情形一：当△AQC∽△AOB时，∠AQC＝∠AOB＝90°，

∴CQ⊥OA．

∵CP⊥OA，∴点P与点Q重合，OQ＝OP，即6－2t＝2t，∴t＝1.5

情形二：当△ACQ∽△AOB时，∠ACQ＝∠AOB＝90°，∵OA＝OB＝6，

∴△AOB是等腰直角三角形，∴△ACQ也是等腰直角三角形，

∵CP⊥OA，∴AQ＝2CP，即2t＝2（－2t＋6），

∴t＝2，∴满足条件的t的值是1.5秒或2秒． 6分

（2）①由题意得：

∴以C为顶点的抛物线解析式是，

由 解得

过点D作DE⊥CP于点E，

则∠DEC＝∠AOB＝90°．

∵DE∥OA，∴∠EDC＝∠OAB，

∴△DEC∽△AOB，∴，∵AO＝8，AB＝10，

DE＝，∴CD＝ 9分

②∵，CD边上的高＝，

∴S△COD为定值．要使OC边上的高h的值最大，只要OC最短，当OC⊥AB时OC

最短，此时OC的长为，∠BCO＝90°，

∵∠AOB＝90°∴∠COP＝90°﹣∠BOC＝∠OBA，

又∵CP⊥OA，∴Rt△PCO∽Rt△OAB．

∴即，∴

∴当t为秒时，h的值最大． 12分

考点：1.一次函数；2.二次函数与一次函数的交点；3.相似三角形的判定与性质；4.分类讨论.