Question

已知关于x的一元二次方程.

①证明该方程有两个不相等实根；

②若该方程两根刚好是一直角三角形两直角边长，且该直角三角形斜边为10，求k值。

Answer

①见解析；②k=2或k=－12

【解析】

试题分析：①要证明该方程有两个不相等实根，只需证明△＞0即可；②设两根为x1，x2，然后利用根与系数的关系得：x1+x2=2k+1 ，x1·x2=k2+10k+24 ，根据条件得x12+x22=100，然后进行式子变形，解以k为未知数的方程即可.

试题解析：

①证明：因为△4＞0，所以该方程有两个不相等实根；

②设两根为x1，x2，则

x1+x2=2k+1

x1·x2=k2+10k+24

x12+x22=（2k+10）2－2（k2+10k+24）=2k2+20k+52

又∵x12+x22=100 ∴2k2+20k+52=100 k1=－12 k2=2

所以k=2或k=－12

考点：1.一元二次方程根的判别式；2.根与系数的关系；3.勾股定理.