Question

如图，已知AB、AC分别为⊙O的直径和弦，D为弧BC的中点，DE垂直于AC，交AC的延长线于E，连接BC，若DE=6cm，CE=2cm，下列结论正确的是：  （       ）

①DE是⊙O的切线；②直径AB长为20cm；③弦AC长为15cm；④C为弧AD的中点.

A. ①②④      B.①③④      C. ①②       D.②③

Answer

C

【解析】

试题分析：连接OD，OC；因为AB为⊙O的直径，所以BC⊥AC，因为DE⊥AC，所以BC∥DE；因为D为弧BC的中点，所以OD⊥BC，所以OD⊥DE．所以DE是⊙O的切线．故①正确；由切割线定理得：,所以36=2AE,所以AE=18,所以AC=AE-CE=18-2=16cm，故③错误；设BC与DO交于点F，由（1）可得四边形CFDE为矩形；∴CF=DE=6，∵OD⊥BC，∴BC=2CF=12，在Rt△ABC中，AB= ,故②正确；若C为弧AD的中点. 因为D为弧BC的中点，则弧AC=弧CD=弧BD,则∠AOC=∠COD=∠BOD=60º，所以∠B=30º，因为AC=12,AB=20,所以30º，故④错误.所以选：C.

考点：1.垂径定理；2.切线的判定；3.切割线定理；4.勾股定理.