Question

如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．

（1）求此抛物线的解析式

（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；

（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积．

Answer

（1）；（2）相交．证明见解析；（3）当m=3时，△PAC的面积最大为；此时，P点的坐标为（3，-）．

【解析】

试题分析：（1）已知抛物线的顶点坐标，可用顶点式设抛物线的解析式，然后将A点坐标代入其中，即可求出此二次函数的解析式；

（2）根据抛物线的解析式，易求得对称轴l的解析式及B、C的坐标，分别求出直线AB、BD、CE的解析式，再求出CE的长，与到抛物线的对称轴的距离相比较即可；

（3）过P作y轴的平行线，交AC于Q；易求得直线AC的解析式，可设出P点的坐标，进而可表示出P、Q的纵坐标，也就得出了PQ的长；然后根据三角形面积的计算方法，可得出关于△PAC的面积与P点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出△PAC的最大面积及对应的P点坐标．

试题解析：（1）设抛物线为y=a（x﹣4）2﹣1，

∵抛物线经过点A（0，3），

∴3=a（0﹣4）2﹣1，；

∴抛物线为

（2）相交．

证明：连接CE，则CE⊥BD，

当时，x1=2，x2=6．

A（0，3），B（2，0），C（6，0），

对称轴x=4，

∴OB=2，AB=，BC=4，

∵AB⊥BD，

∴∠OAB+∠OBA=90°，∠OBA+∠EBC=90°，

∴△AOB∽△BEC，

∴，

即，

解得CE=，

∵＞2，

∴抛物线的对称轴l与⊙C相交．（7分）

（3）如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q；

可求出AC的解析式为

设P点的坐标为（m，），

则Q点的坐标为（m，）；

∴PQ=﹣m+3﹣（）=﹣m2+m．

∵S△PAC=S△PAQ+S△PCQ=×（﹣m2+m）×6

=-（m﹣3）2+；

∴当m=3时，△PAC的面积最大为；

此时，P点的坐标为（3，-）．

考点：二次函数综合题