Question

如图，已知点A（3，0），以A为圆心作⊙A与Y轴切于原点，与x轴的另一个交点为B，过B作⊙A的切线l．

（1）以直线l为对称轴的抛物线过点A及点C（0，9），求此抛物线的解析式；

（2）抛物线与x轴的另一个交点为D，过D作⊙A的切线DE，E为切点，求DE的长；

（3）点F是切线DE上的一个动点，当△BFD与△EAD相似时，求出BF的长 ．

Answer

（1）y=（x-6）2-3．（2）3．（3）或．

【解析】

试题分析：（1）已知了抛物线的顶点坐标，可将抛物线的解析式设为顶点坐标式，然后将C点坐标代入求解即可．

（2）由于DE是⊙A的切线，连接AE，那么根据切线的性质知AE⊥DE，在Rt△AED中，AE、AB是圆的半径，即AE=OA=AB=3，而A、D关于抛物线的对称轴对称，即AB=BD=3，由此可得到AD的长，进而可利用勾股定理求得切线DE的长．

（3）若△BFD与EAD△相似，则有两种情况需要考虑：①△AED∽△BFD，②△AED∽△FBD，根据不同的相似三角形所得不同的比例线段即可求得BF的长．

试题解析：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-6）2+k；

∵抛物线经过点A（3，0）和C（0，9），

∴，

解得：

∴y=（x-6）2-3．

（2）连接AE；

∵DE是⊙A的切线，

∴∠AED=90°，AE=3，

∵直线l是抛物线的对称轴，点A，D是抛物线与x轴的交点，

∴AB=BD=3，

∴AD=6；

在Rt△ADE中，DE2=AD2-AE2=62-32=27，

∴DE=3．

（3）当BF⊥ED时；

∵∠AED=∠BFD=90°，∠ADE=∠BDF，

∴△AED∽△BFD，

∴，

即，

∴BF=；

当FB⊥AD时，

∵∠AED=∠FBD=90°，∠ADE=∠FDB，

∴△AED∽△FBD，

∴，

即BF=；

∴BF的长为或．

考点：二次函数综合题．