Question

如图，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点D是AE的中点，连接OD并延长交⊙O于点M，∠BOE=60°，cosC=，BC=．

（1）求的度数；

（2）求证：BC是⊙的切线；

（3）求弧AM的长度．

Answer

（1）30°．（2）证明见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）根据三角函数的知识即可得出∠A的度数．

（2）要证BC是⊙O的切线，只要证明AB⊥BC即可．

（3）根据切线的性质，运用三角函数的知识求出MD的长度．

试题解析：（1）【解析】
∵∠BOE=60°，

∴∠A=∠BOE=30°．

（2）证明：在△ABC中，∵cosC=，

∴∠C=60°．

又∵∠A=30°，

∴∠ABC=90°，

∴AB⊥BC．

∴BC是⊙O的切线．

（3）∵点M是弧AE的中点，

∴OM⊥AE．

在Rt△ABC中，∵BC=2，

∴AB=BC•tan60°=2×=6．

∴OA=3，

∴弧AM的长 ==

考点：1.圆周角定理；2切线的判定与性质；3.弧长的计算；4.特殊角的三角函数值．