Question

（14分）如图，以直角坐标系的原点O为圆心作⊙O，点M、N是⊙O上的两点，M（-1，2），N（2，1）

（1）试在x轴上找点P使PM+PN最小，求出P点的坐标；

（2）若在坐标系中另有一直线AB，A（10，0），点B在y轴上，∠BAO=30°，⊙O以0.2个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，问圆在运动过程中与该直线有公共点的时间有长？

Answer

（1）（1，0）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）作点N关于x轴的对称点Q，连结M、Q交x轴于点P，则P就是使PM+PN最小的点，根据关于x轴对称的点的坐标特点求出Q点的坐标，用待定系数法求出直线MQ的解析式，求出当y=0时x的值即可得出P点坐标；

（2）M（﹣1，2）在圆O上，所以根据勾股定理可求出⊙O的半径，再根据OA=10，∠BAO=30°可得出原点O到直线AB的距离为5，当圆运动到圆心到直线AB的距离等于半径时圆与直线AB相切，此时可求出圆心O可在点A左侧或右侧与A的距离，再由⊙O以0.2个单位/秒的速度沿x轴正方向运动即可得出结论．

试题解析：（1）如图1所示，作点N关于x轴的对称点Q，连结M、Q交x轴于点P，则P就是使PM+PN最小的点，

∵N（2，1），∴Q（2，﹣1），设直线MQ的解析式为（），∵M（﹣1，2），Q（2，﹣1），

∴，解得：，∴直线MQ的解析式为：，∵当y=0时，x=1，∴P点坐标为（1，0）；

（2）∵M（﹣1，2）在圆O上，∴圆O的半径=，

∵OA=10，∠BAO=30°，∴原点O到直线AB的距离为5，

∴当圆运动到圆心到直线AB的距离OD=时圆与直线AB相切当⊙O在直线AB的左侧时，如图2所示：∵∠BAO=30°，∴OA=，

同理，当⊙O在直线AB的左侧时，圆心与点A的距离也等于，

∵⊙O以0.2个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，∴相交时间=（秒）．

答：圆在运动过程中与该直线相交的时间有秒．

考点：圆的综合题．