Question

（9分）等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点A、点B分别是x轴、y轴两个动点，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E；

（1）如图（1），若A（0，1），B（2，0），求C点的坐标；

（2）如图（2），当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB=∠CDE

（3）如图（3），在等腰Rt△ABC不断运动的过程中，若满足BD始终是∠ABC的平分线，试探究：线段OA、OD、BD三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由.

Answer

（1）C（－1，－1） ；（2）∠ADB=∠CDE ；（3）BD=2（OA +OD）

【解析】

思路点拨：（1）过点C作CF⊥y轴于点F通过证△ACF≌△ABO得CF=OA=1，AF=OB=2，求得OF的值，就可以求出C的坐标；

（2）过点C作CG⊥AC交y轴于点G，先证明△ACG≌△ABD就可以得出CG=AD=CD，∠DCE=∠GCE=45°，再证明△DCE≌△GCE就可以得出结论；

（3）在OB上截取OH=OD，连接AH，由对称性得AD=AH，∠ADH=∠AHD，可证∠AHD=∠ADH=∠BAO=∠BEO，在证明△ACE≌△BAH就可以得出结论

试题分析：（1）过点C作CF⊥y轴于点F

通过证△ACF≌△ABO（AAS）

得CF=OA=1，AF=OB=2

∴OF=1，

∴C（－1，－1）

（2）过点C作CG⊥AC交y轴于点G

通过证△ACG≌△ABD（ASA）

得 CG=AD=CD ∠ADB=∠G

由 ∠DCE=∠GCE=45°

可证△DCE≌△GCE（SAS）得∠CDE=∠G

∴∠ADB=∠CDE

（3） BD=2（OA +OD）

在OB上截取OH=OD,连接AH

由对称性得AD=AH, ∠ADH=∠AHD

可证∠AHD=∠ADH=∠BAO=∠BEO

∴∠AEC=∠BHA

又∵AB=AC ∠CAE=∠ABH

∴△ACE≌△BAH（AAS）

∴AE=BH=2OA

∵DH=2OD

∴BD=2（OA +OD）

考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质