Question

（本题10分）如图，△ABC的边BC在直线上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线上，边EF与边AC重合，且EF=FP．

（1）示例：在图1中，通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系．

答：AB与AP的数量关系和位置关系分别是_____________、______________．

（2）将△EFP沿直线向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ．请你观察、测量，猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系．

答：BQ与AP的数量关系和位置关系分别是_____________、______________．

（3）将△EFP沿直线向左平移到图7-3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP、BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，选择位置关系或数量关系给出证明；若不成立，请说明理由．

Answer

（1）BQ=AP，BQ⊥AP；（2）BQ=AP，BQ⊥AP；（3）成立，理由见试题解析．

【解析】

试题分析：（1）由于AC⊥BC，且AC=BC，边EF与边AC重合，且EF=FP，则△ABC与△EFP是全等的等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到∠BAC=∠CAP=45°，AB=AP，则∠BAP=90°，于是AP⊥AB；

（2）延长BO交AP于H点，可得到△OPC为等腰直角三角形，则有OC=PC，根据“SAS”可判断△ACP≌△BCO，则AP=BO，∠CAP=∠CBO，利用三角形内角和定理可得到∠AHO=∠BCO=90°，即AP⊥BO；

（3）BO与AP所满足的数量关系为相等，位置关系为垂直．证明方法与（2）一样．

试题解析：（1）AB=AP，AB⊥AP；

（2）BQ=AP，BQ⊥AP；

（3）成立．理由如下：

∵∠EPF=45°，∴∠CPQ=45°．

∵AC⊥BC，∴∠CQP=∠CPQ，CQ=CP．

在Rt△BCQ和Rt△ACP中，∵BC=AC，∠BCQ=∠ACP，CQ=CP，∴Rt△BCQ≌Rt△ACP（SAS），

∴BQ=AP；

延长QB交AP于点N，∴∠PBN=∠CBQ．

∵Rt△BCQ≌Rt△ACP，∴∠BQC=∠APC．

在Rt△BCQ中，∵∠BCQ+∠CBQ=90°，∴∠APC+∠PBN=90°，∴∠PNB=90°，∴QB⊥AP．

考点：全等三角形的判定与性质．