Question

（本题8分）如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥DF，交AB于点E，连结EG、EF.

（1）求证：BG＝CF.

（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由.

Answer

（1）证明见试题解析；（2）BE+CF＞EF，理由见试题解析．

【解析】

试题分析：（1）先利用ASA判定△BGD≌△CFD，从而得出BG=CF；

（2）由△BGD≌△CFD ，得到GD=FD，从而得出EG=EF，再利用两边和大于第三边从而得出BE+CF＞EF．

试题解析：（1）∵BG∥AC，∴∠DBG=∠DCF．

∵D为BC的中点，∴BD=CD，

又∵∠BDG=∠CDF，

在△BGD与△CFD中，∵∠DBG=∠DCF，BD=CD，∠BDG=∠CDF，∴△BGD≌△CFD（ASA），∴BG=CF．

（2）BE+CF＞EF．理由如下：

∵△BGD≌△CFD，∴GD=FD，BG=CF．

又∵DE⊥FG，∴EG=EF（垂直平分线到线段端点的距离相等）．

∴在△EBG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．

考点：全等三角形的判定与性质．