Question

四边形ABCD为矩形，G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E．

（1）如图1，若AB=BC，BF∥DE，且交AG于点F，求证：AF-BF=EF；

（2）如图2，在（1）条件下，AG=BG，求；

（3）如图3，连EC，若CG=CD，DE=2，GE=1，则CE=                 。（直接写出结果）

Answer

(1)证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）利用△AED≌△BFA求得AE=BF，再利用线段关系求出AF-BF=EF．

（2）延长AG与DC交于点F，设BG=t先求出AB，再利用△ABG≌△FCG及直角三角形斜边上的中点，求出；

（3）连接DG，作EM⊥BC于M点，利用直角三角形求出DG，CD的长，再利用ABG∽△DEA，求出AD，再运用△EMG∽△DEA求出EM和MG，再运用勾股定理即可求出CE的长．

试题解析：(1)∵ 四边形ABCD为正方形，

∴AD=AB，∠BAD=90°，

又DE⊥AG，BF∥DE，

∴∠AED=∠AFB=90°，

∵∠BAF+∠DAE=90°，∠BAE+∠ABF=90°，

∴∠DAE=∠ABF，

在△AED和△BFA中，

∴△AED≌△BFA（AAS），

∴AE=BF，

∴AF-BF=EF，

（2）如图2，延长AG与DC交于点F，

∵AG=BG，设BG=t，则AG=t，

在Rt△ABG中，AB=，

∴G为BC的中点，

在△ABG和△FCG中，

∴△ABG≌△FCG（AAS），

∴AB=FC=CD，

又∵DE⊥AG，

在Rt△DEF中，C为斜边DF的中点，

∴EC=CD=CF，

∴.

（3）如图3，连接DG，作EM⊥BC于M点，

∵DE⊥AG，DE=2，GE=1，

∴在RT△DEG中，DG=，

∵CG=CD，

∴在Rt△DCG中，∠CDG=∠CGD=45°，

∴CD=CG=，

∵∠BAG+∠GAD=90°，∠EDA+∠GAD=90°，

∴∠BAG=∠EDA，

∵∠ABG=∠DEA=90°，

∴△ABG∽△DEA，

∴，

设AD=x，则AE=，AG=+1，

∴，

解得x1=，x2=（舍去）

∴AE=，

又∵∠BAG=∠MEG，

∴∠EDA=∠MEG，

∴△EMG∽△DEA

∴，即

解得EM=，MG=，

∴CM=CG+MG=，

∴CE=．

考点：四边形综合题．