Question

如图，菱形ABCD中，E、F分别是边AD，CD上的两个动点（不与菱形的顶点重合），且满足CF=DE，∠A=60°．

（1）写出图中一对全等三角形：____________________．

（2）求证：△BEF是等边三角形；

（3）若菱形ABCD的边长为2，设△DEF的周长为，则的取值范围为            （直接写出答案）；

（4）连接AC分别与边BE、BF交于点M、N,且∠CBF＝15º，试说明：

Answer

【解析】

试题分析：（1）根据题意可判断出AE=DF，DE=CF，从而结合菱形的性质即可得出全等三角形的对数，选择一对进行证明即可；

（2）根据（1）可得出BE=BF，∠EBF=60°，继而可判定△BEF为正三角形；

（3）由（2）知，DE+DF+EF=AD+BE．因为AD=2，则当BE⊥AD时，BE最短，所以由三角函数求出BE，从而得出m的最小值；

（4）如图，把△BNC绕点B逆时针旋转120°，使CB与AB重合，N对应点为N′，连接MN′．构建全等三角形：△N′BM≌△NBM（SAS），利用该全等三角形的性质、结合已知条件和图形得到∠AN′M=135°-45°=90°，所以由勾股定理证得MN2+CN2=AM2．

试题解析：（1）△ABE≌△DBE（或△EBD≌△FBC）

∵ABCD为菱形

∴AB=AD=DC=BC

∵∠A=∠C=60°

∴△ABD与△BDC为等边三角形

∵DE=FC

∴△EDB≌△FCB

∴EB=FB，∠EBD=∠FBC

∴∠EBF=60°

∴△EBF是等边三角形

（3）如图1，由（2）知，△BEF是等边三角形，则EF=BE=BF．

则m=DE+DF+EF=AD+BE．

当BE⊥AD时，BE最短，此时△DEF的周长最短

∵在Rt△ABE中，sin60°= ，即 ，

∴BE= ．

∴m=2+ ．

当点E与点A重合，△DEF的周长最长，此时m=2+2=4．

综上所述，m的取值范围是：2+ ≤m＜4；

故答案是：2+ ≤m＜4；

（4）把△BNC绕点B逆时针旋转120，使CB 与AB重合，N对应点为N ’，连接MN’

∴∠NBC=∠N’BA

∴∠N’BA+∠EBA=60°=∠EBF

∵BN=BN’，BM=BM

∴△N’BM≌△NBM（SAS）

∴MN=MN’，∠MN’B=∠MNB=45°

又∵∠AN’B=∠BNC=180°-（15°+30°）=135°

∴∠AN’M=135°-45°=90°

∴AM2=AN2+MN2=MN2+NC2

考点：1、菱形的性质；2、全等三角形的判定与性质；3、勾股定理．