Question

如图，已知直线与双曲线交于、两点，点横坐标为4．

（1）求值；

（2）直接写出关于的不等式的解集；

（3）若双曲线上有一点的纵坐标为8，求△的面积．

（4）若在轴上有点，轴上有点，且点、、、四点恰好构成平行四边形，直接写出点、的坐标．

Answer

（1） k=8；

-4≤x<0或x≥4；

（3）S△AOC=15；

（4）M1（3，0），N1（0，6）或M2（-3，0），N2（0，-6）

【解析】

试题分析：（1）由点A的横坐标是4，代入直线的解析式可求得点A的纵坐标，从而得点A的坐标，将点A的坐标代入反比例函数解析式即可求得k值；

求不等式的解集就是求当自变量在什么范围变化时，一次函数的值大于反比例函数的值，只需要求出A、B两点的坐标即可得出，而由已知可知A、B两点关于原点对称，从而可得点B的坐标，这样问题得解；

过点A、C分别做x轴、y轴的垂线，用矩形DEOF的面积减去△OFC、 △CDA、△OAE的面积即可得；

见图形利用平行四边形的性质及勾股定理即可得解．

试题解析：（1）∵点A横坐标为4，

∴当x= 4时，y==2

∴点A的坐标为（4，2）

∵点A是直线与双曲线（k>0）的交点，

∴ k=4×2=8；

（2）-4≤x<0或x≥4

（3）∵点C在双曲线上，当y=8时，x=1

∴点C的坐标为（1，8）

过点A、C分别做x轴、y轴的垂线，垂足为E、F，得矩形DEOF，

S矩形OEDF=32，S△OFC=4，S△CDA=9，S△OAE=4，

S△AOC=S矩形OFDE - S△OFC -S△CDA-S△OAE=32-4-9-4=15；

（4）M1（3，0），N1（0，6）或M2（-3，0），N2（0，-6）

考点：1、待定系数法；2、一次函数与反比例函数值的比较；3、平移的性质；4、平行四边形性质的应用