Question

如图，一条直线与反比例函数的图象交于A（1，4）

B（4，n）两点，与轴交于D点，AC⊥轴，垂足为C．

（1）如图甲，①求反比例函数的解析式；②求n的值及D点坐标；

（2）如图乙，若点E在线段AD上运动，连结CE，作∠CEF=45°，EF交AC于F点．

①试说明△CDE∽△EAF；

②当△ECF为等腰三角形时，直接写出F点坐标                             ．

Answer

（1）①；②1; （5，0）；（2）证明见解析；F1（1，2）；F2（1，4）；F3（1，8−4）.

【解析】

试题分析：（1）①根据点A的坐标即可求出反比例函数的解析式为；②再求出B点的坐标B（4，1），即得n=1；利用待定系数法求一次函数的解析式，令一次函数的y=0，求得点D的坐标D（5，0）；

（2）①在本题中要证△CDE∽△EAF，只要证明出△CDE和△EAF的三个内角分别对应相等，即可得证；

②当△ECF为等腰三角形时，可写出点F的坐标F1（1，2）；F2（1，4）；F3（1，8−4）；

试题解析：（1）①∵点A（1，4）在反比例函数图象上

∴k=4

即反比例函数关系式为；

②∵点B（4，n）在反比例函数图象上

∴n=1

设一次函数的解析式为y=mx+b

∵点A（1，4）和B（4，1）在一次函数y=mx+b的图象上

∴解得

∴一次函数关系式为y=-x+5

令y=0，得x=5

∴D点坐标为D（5，0）；

（2）①证明：∵A（1，4），D（5，0），AC⊥x轴

∴C（1，0）

∴AC=CD=4，

即∠ADC=∠CAD=45°，

∵∠AEC=∠ECD+∠ADC=∠ECD+45°，

∠AEC=∠AEF+∠FEC=∠AEF+45°，

∴∠ECD=∠AEF，

△CDE和△EAF的两角对应相等，

∴△CDE∽△EAF．

②当CE=FE时，由△CDE≌△EAF可得AE=CD=4，DE=AF=4﹙-1），

∵A（1，4），

∴F点的纵坐标=4-AF=4-4（-1）=8-4

∴F﹙1，8-4﹚

当CE=CF时，由∠FEC=45°知∠ACE=90°，此时E与D重合，

∴F与A重合，

∴F（1，4）

当CF=EF时，由∠FEC=45°知∠CFE=90°，显然F为AC中点，

∴F（1，2）

当△ECF为等腰三角形时，点F的坐标为F1（1，2）；F2（1，4）；F3（1，8−4）

考点：1.相似三角形的判定；2.反比例函数与一次函数的交点问题；3.等腰三角形的性质．