Question

如图：已知△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，P点在AC上（与A、C不重合），Q在BC上．

（1）当△PQC的面积是四边形PABQ的面积时，求CP的长．

（2）当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长．

Answer

（1）2.（2）．

【解析】

试题分析：（1）由于PQ∥AB，故△PQC∽△ABC，当△PQC的面积是四边形以PABQ的面积时，△CPQ与△CAB的面积比为1：4，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出CP的长；

（2）由于△PQC∽△ABC，根据相似三角形的性质，可用CP表示出PQ和CQ的长，进而可表示出AP、BQ的长．根据△CPQ和四边形ABQP的周长相等，可将相关的各边相加，即可求出CP的长．

试题解析：（1）∵PQ∥AB，

∴△PQC∽△ABC，

∵S△PQC=S四边形PABQ，

∴S△PQC：S△ABC=1：4，

∴，

∴CP=CA=2；

（2）∵△PQC∽△ABC，

∴，

∴，

∴CQ=CP，

同理：PQ=CP，

∴C△PCQ=CP+PQ+CQ=CP+CP+CP=3CP，

C四边形PABQ=PA+AB+BQ+PQ

=4-CP+AB+3-CQ+PQ

=4-CP+5+3-CP+CP

=12-CP，

∴12-CP=3CP，

∴CP=12，

∴CP=．

考点：相似三角形的判定与性质．