Question

如图,已知:在四边形ABFC中，=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且CF=AE

（1）试探究,四边形BECF是什么特殊的四边形;

（2）当∠A的大小满足什么条件时,四边形BECF是正方形?请回答并证明你的结论.

（特别提醒:表示角最好用数字）

Answer

（1）四边形BECF是菱形．（2）当∠A=45°时，菱形BECF是正方形．

【解析】

试题分析：（1）根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE=EC，BF=FC，根据四边相等的四边形是菱形即可判断；

（2）由菱形的性质知，对角线平分一组对角，即当∠ABC=45°时，∠EBF=90°，有菱形为正方形，根据直角三角形中两个角锐角互余得，∠A=45°．

试题解析：（1）四边形BECF是菱形．

证明：∵BC的垂直平分线为EF，

∴BF=FC，BE=EC，

∴∠1=∠3，

∵∠ACB=90°，

∴∠1+∠2=90°，∠3+∠A=90°，

∴∠2=∠A，

∴EC=AE，

又∵CF=AE，BE=EC

∴BE=EC=CF=BF，

∴四边形BECF是菱形．

（2）当∠A=45°时，菱形BECF是正方形．

证明：∵∠A=45°，∠ACB=90°，

∴∠3=45°，

∴∠EBF=2∠3=90°，

∴菱形BECF是正方形．

考点：1.菱形的判定；2.线段垂直平分线的性质；3.正方形的判定．