Question

已知等边三角形ABC的高为4，在这个三角形所在的平面内有一点P，若点P到AB的距离是1，点P到AC的距离是2，则点P到BC的最小距离和最大距离分别是　     　．

Answer

1，7

【解析】

根据题意画出相应的图形，直线DM与直线NF都与AB的距离为1，直线NG与直线ME都与AC的距离为2，当P与N重合时，HN为P到BC的最小距离；当P与M重合时，MQ为P到BC的最大距离，根据题意得到△NFG与△MDE都为等边三角形，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出DB与FB的长，以及CG与CE的长，进而由DB+BC+CE求出DE的长，由BC﹣BF﹣CG求出FG的长，求出等边三角形NFG与等边三角形MDE的高，即可确定出点P到BC的最小距离和最大距离．

【解析】
根据题意画出相应的图形，直线DM与直线NF都与AB的距离为1，直线NG与直线ME都与AC的距离为2，

当P与N重合时，HN为P到BC的最小距离；当P与M重合时，MQ为P到BC的最大距离，

根据题意得到△NFG与△MDE都为等边三角形，

∴DB=FB==，CE=CQ==，

∴DE=DB+BC+CE=++=，FG=BC﹣BF﹣CG=，

∴NH=FG=1，MQ=DE=7，

则点P到BC的最小距离和最大距离分别是1，7．

故答案为：1，7