Question

如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（　　）

A．            B．            C．            D．不能确定

Answer

B

【解析】

过P作BC的平行线，交AC于M；则△APM也是等边三角形，在等边三角形APM中，PE是AM上的高，根据等边三角形三线合一的性质知AE=EM；易证得△PMD≌△QCD，则DM=CD；此时发现DE的长正好是AC的一半，由此得解．

解：过P作PM∥BC，交AC于M；

∵△ABC是等边三角形，且PM∥BC，

∴△APM是等边三角形；

又∵PE⊥AM，

∴AE=EM=AM；（等边三角形三线合一）

∵PM∥CQ，

∴∠PMD=∠QCD，∠MPD=∠Q；

又∵PA=PM=CQ，

在△PMD和△QCD中

∴△PMD≌△QCD（AAS）；

∴CD=DM=CM；

∴DE=DM+ME=（AM+MC）=AC=，故选B．