Question

如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，

连接CD，已知∠CDB=∠OBD=30°．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）求弦BD的长；

（3）求图中阴影部分的面积．

Answer

（1）证明见解析；（2）6；（3）6π．

【解析】

试题分析：（1）连接OC，OC交BD于E，由∠CDB=∠OBD可知，CD∥AB，又AC∥BD，四边形ABDC为平行四边形，则∠A=∠D=30°，由圆周角定理可知∠COB=2∠D=60°，由内角和定理可求∠OCA=90°，证明切线..

（2）由（1）中的切线的性质和垂径定理以及解直角三角形来求BD的长度.

（3）证明△OEB≌△CED，将阴影部分面积问题转化为求扇形OBC的面积求解．

试题解析：【解析】
（1）证明：如答图，连接OC，OC交BD于E，

∵∠CDB=30°，∴∠COB=2∠CDB=60°.

∵∠CDB=∠OBD，∴CD∥AB.

又∵AC∥BD，∴四边形ABDC为平行四边形.

∴∠A=∠D=30°.

∴∠OCA=180°﹣∠A﹣∠COB=90°，即OC⊥AC.

又∵OC是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线.

（2）由（1）知，OC⊥AC．

∵AC∥BD，∴OC⊥BD. ∴BE=DE.

∵在Rt△BEO中，∠OBD=30°，OB=6，∴BE=OBcos30°=3.∴BD=2BE=6.

（3）∵在△OEB和△CED中，∠OBE=∠CDE，∠OEB=∠CED，BE=DE，

∴△OEB≌△CED（AAS）.∴S阴影=S扇形BOC.

∴S阴影=．

答：阴影部分的面积是6π．

考点：1.圆周角定理；2.平行的判定；3. 平行四边形的判定和性质；4.三角形内角和定理；5.切线的判定和性质；6.垂径定理；7. 特殊角的三角函数值；8.负整数指数幂；9.扇形面积的计算；10.转换思想和数形结合思想的应用．