Question

如图，直线AB的解析式为y=2x+4，交x轴于点A，交y轴于点B，以A为顶点的抛物线交直线AB于点D，交y轴负半轴于点C（0，﹣4）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）将抛物线顶点沿着直线AB平移，此时顶点记为E，与y轴的交点记为F，

①求当△BEF与△BAO相似时，E点坐标；

②记平移后抛物线与AB另一个交点为G，则S_△EFG与S_△ACD是否存在8倍的关系？若有请直接写出F点的坐标．

Answer

（1）y=﹣（x+2）2；（2）①（，3）；②S△EFG与S△ACD存在8倍的关系，点F坐标为（0，﹣60）、（0，3）、（0，5）．

【解析】

试题分析：（1）求出点A的坐标，利用顶点式求出抛物线的解析式．

（2）①首先确定点E为Rt△BEF的直角顶点，相似关系为：△BAO∽△BFE；如答图2﹣1，作辅助线，利用相似关系得到关系式：BH=4FH，利用此关系式求出点E的坐标．

②首先求出△ACD的面积：S△ACD=8；若S△EFG与S△ACD存在8倍的关系，则S△EFG=64或S△EFG=1；如答图2﹣2所示，求出S△EFG的表达式，进而求出点F的坐标．

试题解析：【解析】
（1）∵直线AB的解析式为y=2x+4，

∴令x=0，得y=4；令y=0，得x=﹣2．∴A（﹣2，0）、B（0，4）．

∵抛物线的顶点为点A（﹣2，0），∴设抛物线的解析式为：y=a（x+2）2．

∵点C（0，﹣4）在抛物线上，∴﹣4=4a，解得a=﹣1．

∴抛物线的解析式为y=﹣（x+2）2．

（2）平移过程中，设点E的坐标为（m，2m+4），

则平移后抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣m）2+2m+4，∴F（0，﹣m2+2m+4）．

①∵点E为顶点，∴∠BEF≥90°，

∴若△BEF与△BAO相似，只能是点E作为直角顶点．

∴△BAO∽△BFE．

∴，即，可得：BE=2EF．

如答图1，过点E作EH⊥y轴于点H，

则点H坐标为：H（0，2m+4）．

∵B（0，4），H（0，2m+4），F（0，﹣m2+2m+4），

∴BH=|2m|，FH=|﹣m2|．

在Rt△BEF中，由射影定理得：BE2=BH•BF，EF2=FH•BF，

又∵BE=2EF，∴BH=4FH，即：4|﹣m2|=|2m|．

若﹣4m2=2m，解得m=或m=0（与点B重合，舍去）；

若﹣4m2=﹣2m，解得m=或m=0（与点B重合，舍去），此时点E位于第一象限，∠BEF为钝角，故此情形不成立．

∴m=．∴E（，3）．

②假设存在．

联立抛物线y=﹣（x+2）2与直线y=2x+4，可求得：D（﹣4，﹣4），

∴S△ACD=×4×4=8．

∵S△EFG与S△ACD存在8倍的关系，∴S△EFG=64或S△EFG=1．

联立平移抛物线y=﹣（x﹣m）2+2m+4与直线y=2x+4，可求得：G（m﹣2，2m）．

∴点E与点M横坐标相差2，即：|xG|﹣|xE|=2．

如答图2，S△EFG=S△BFG﹣S△BEF=BF•|xG|﹣BF|xE|=BF•（|xG|﹣|xE|）=BF．

∵B（0，4），F（0，﹣m2+2m+4），∴BF=|﹣m2+2m|．∴|﹣m2+2m|=64或|﹣m2+2m|=1，

∴﹣m2+2m可取值为：64、﹣64、1、﹣1．

当取值为64时，一元二次方程﹣m2+2m=64无解，

故﹣m2+2m≠64．

∴﹣m2+2m可取值为：﹣64、1、﹣1．

∵F（0，﹣m2+2m+4），∴F坐标为：（0，﹣60）、（0，3）、（0，5）．

综上所述，S△EFG与S△ACD存在8倍的关系，点F坐标为（0，﹣60）、（0，3）、（0，5）．

考点：1．二次函数综合题；2．线动平移问题；3．待定系数法的应用；4．一点的坐标与方程的关系；5．二次函数的性质；6．相似三角形的性质；7．解一元二次方程；8．分类思想、转换思想和数形结合思想的应用．