Question

如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，AD=，E为CD中点，连接AE，且AE=2，∠DAE=30°，作AE⊥AF交BC于F，则BF=（   ）

A．      B．       C．       D．

Answer

D．

【解析】

试题分析：如答图，延长AE交BC的延长线于G，

∵E为CD中点，∴CE=DE．

∵AD∥BC，∴∠DAE=∠G=30°．

∵在△ADE和△GCE中，∠DAE=∠G，∠AED=∠GEC，CE=DE，

∴△ADE≌△GCE（AAS）．∴CG=AD=，AE=EG=2．∴AG=AE+EG=2+2=4．

∵AE⊥AF，∴AF=AGtan30°=，GF=AG÷cos30°=．

过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，则MN=AD=，

∵四边形ABCD为等腰梯形，∴BM=CN．

∵MG=AG•cos30°=，∴CN=MG﹣MN﹣CG=6﹣﹣=6﹣2．

∵AF⊥AE，AM⊥BC，∴∠FAM=∠G=30°．∴FM=AF•sin30°=．

∴BF=BM﹣MF=6﹣2﹣2=4﹣2．

故选D．

考点：1．等腰梯形的性质；2．平行的性质；3．全等三角形的判定和性质；4．锐角三角函数定义；5．特殊角的三角函数值．